七、动态测试

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目录

• 第一部分：动态测试基本概念
  • 1. 定义与分类
• 第二部分：随机过程及其特征量
  • 1. 核心定义
  • 2. 四大统计特征量
• 第三部分：特征量的实际估计
  • 1. 总体平均法（适用于平稳过程）
  • 2. 时间平均法（适用于各态历经过程）
• 第四部分：动态测试误差处理与评定
  • 1. 数据预处理
  • 2. 误差分离与模型
  • 3. 评定指标

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第一部分：动态测试基本概念

1. 定义与分类

根据被测物理量是否随时间变化，测试技术分为两类：

• 静态测试：被测量静止不变，仪器的输入量为常量 。
• 动态测试：被测量随时间、空间或其他参数变化，仪器的输入及测试结果（信号）均随时间变化 。

动态测试数据可分为确定性数据和随机性数据两大类 ：

1. 确定性数据：能用明确数学关系式表达。

• 周期数据：包括正弦周期（如 \(\displaystyle x(t)=A\sin(2\pi f_{0}t+\theta)\) ）和复杂周期（由多个频率组成 ）。

• 非周期数据：包括准周期数据（频率比不全为有理数 ）和瞬态数据（如指数衰减信号 ）。

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2. 随机性数据：无法用明确数学表达式描述，不能在误差范围内预测未来时刻的值，只能用概率分布和统计特征量描述。

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第二部分：随机过程及其特征量

1. 核心定义

• 随机过程：自变量为时间 \(\displaystyle t\) 的随机函数，记作 \(\displaystyle x(t)\) 。

• 样本函数：随机过程的一次实现 。

• 平稳过程：主要统计特性不随时间推移而改变的过程 。

• 各态历经过程：单个随机样本的时间统计特性等于整个随机过程的集合统计特性 。

2. 四大统计特征量

为了描述随机过程的特性，通常使用以下四种函数 ：

（1）概率密度函数 \(\displaystyle f(x)\)

它反映了随机数据落在给定区间的概率相对于振幅的变化率 。其与概率分布函数 \(\displaystyle F(x)\) 的关系为：

\[\displaystyle f(x) = \frac{dF(x)}{dx}\]

（2）均值、方差与方均值

• 均值 \(\displaystyle m_{x}(t)\)：反映随机函数的中心趋势，\(\displaystyle m_{x}(t)=E[x(t)]\) 。

• 方差 \(\displaystyle \sigma_{x}^{2}\)：反映现实相对于均值的分散程度，\(\displaystyle \sigma_{x}^{2}=E[\{x(t)-m_{x}(t)\}^{2}]\) 。

• 方均值 \(\displaystyle \psi_{x}^{2}(t)\)：反映随机函数的强度（功率），\(\displaystyle \psi_{x}^{2}(t) = m_{x}^{2}(t) + \sigma_{x}^{2}(t)\) 。

（3）自相关函数 \(\displaystyle R_{x}(t, t+\tau)\)

反映随机过程在不同时刻之间的线性相关程度 ：

\[\displaystyle R_{x}(t,t+\tau)=E[\{x(t)-m_{x}(t)\}\{x(t+\tau)-m_{x}(t+\tau)\}]\]

若在随机函数上乘以非随机因子 \(\displaystyle f(t)\)，则其自相关函数应乘以 \(\displaystyle f(t)f(t')\)

（4）谱密度函数 \(\displaystyle G_{x}(f)\)

反映随机过程产生的功率在频率轴上的分布 。它与自相关函数通过维纳-辛钦公式构成傅里叶变换对 ：

\[\displaystyle S_{\chi}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}R_{\chi}(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\]

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第三部分：特征量的实际估计

在工程实践中，我们无法获得无限长的样本，因此需要进行估计：

1. 总体平均法（适用于平稳过程）

通过 \(\displaystyle N\) 次重复实验在同一时刻 \(\displaystyle t_{k}\) 采样进行估计 25：

• 均值估计：\(\displaystyle \hat{m}_{\chi}(t_{k})=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\chi_{i}(t_{k})\)

• 方差估计：\(\displaystyle \hat{D}_{\chi}(t_{k})=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\{x_{i}(t_{k})-m_{\chi}(t_{k})\}^{2}\)

2. 时间平均法（适用于各态历经过程）

仅需通过一个样本的时间历程即可代表总体特性 ：

• 时间均值：\(\displaystyle \overline{e_{r}}=\frac{1}{N+1}\sum_{i=1}^{N+1}e_{ri}\)

• 时间平均方差：\(\displaystyle \sigma^{2}=\frac{1}{N+1}\sum_{i=1}^{N+1}(e_{ri}-\overline{e_{r}})^{2}\)

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第四部分：动态测试误差处理与评定

1. 数据预处理

在进行误差分离前，必须对原始数据进行处理 ：

• 数据截断：截取足够反映统计特性的长度 。

• 采样：必须满足香农采样定理，防止信号混叠，最大采样间隔 \(\displaystyle \Delta_{max} = \frac{1}{2f_{m}}\) 。

• 剔点处理：利用“正常数据平滑、异点突变”的原理，采用如 Tukey 53H法或中位数方法剔除粗大误差 。

2. 误差分离与模型

动态测试数据组合模型为：

\[\displaystyle X(t) = X_{0}(t) + e(t) = f_{0}(t) + Y_{0}(t) + e_{s}(t) + e_{r}(t)\]

35其中 \(\displaystyle e_{s}(t)\) 为系统误差，\(\displaystyle e_{r}(t)\) 为随机误差 。

• 系统误差分离：重复测量数据的均值可视为系统误差，即 \(\displaystyle E[e(t)] = e_{s}(t)\) 。

• 随机误差分离：利用统计处理法（如功率谱密度），当测量值与真实值统计特性有显著差异时进行分离 。

3. 评定指标

• 系统误差评定：通常使用误差的均值函数或其均值的最大值 。

• 随机误差评定：

• 总体标准差：\(\displaystyle \sigma_{i}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{l=1}^{n}(e_{rli}-m_{ri})^{2}}\)

• 极限误差：\(\displaystyle \delta_{limi}=k_{p}\sigma_{i}\)，一般取 \(\displaystyle k_{p}=3\) 。