三、误差的合成与分配⚓︎
约 3350 个字 预计阅读时间 17 分钟
目录
(一)函数误差⚓︎
- 定义: 间接测量的误差是直接测得量及其误差的函数。
-
Example: 测量矩形的面积 \(S = xy\)。
-
函数误差为: \(\delta_s = x \delta_y + y \delta_x + \delta_y \delta_x\)。
1. 函数系统误差计算⚓︎
- 函数系统误差 \(\Delta y\) 的计算公式:
\[
\Delta y = \frac{\partial f}{\partial x_1} \Delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \Delta x_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n} \Delta x_n \text{ }
\]
- \(\Delta x_n\): 与被测量有函数关系的各个直接测量值。
- \(\partial f / \partial x_i\): 误差传播系数。
- 若 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 量纲相同，则 \(\partial f / \partial x_i\) 起到误差放大或缩小的作用。
-
若 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 量纲不相同，则 \(\partial f / \partial x_i\) 起到误差单位换算的作用。
-
几种简单函数的系统误差:
- 线性函数: \(y = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n\)。 $\( \Delta y = a_1 \Delta x_1 + a_2 \Delta x_2 + \dots + a_n \Delta x_n \text{ } \)$
-
若 \(a_i = 1\): \(\Delta y = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \dots + \Delta x_n\)。 * 三角函数形式: \(\varphi = \arcsin(f(x_i))\) 或 \(\varphi = \arccos(f(x_i))\)。
\[
\Delta \varphi = \frac{1}{\cos \varphi} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i \text{ (对于 } \sin \varphi \text{) }
\]
\[
\Delta \varphi = \frac{1}{-\sin \varphi} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i \text{ (对于 } \cos \varphi \text{) }
\]
- Example: 用弓高弦长法测量大工件直径 \(D\)。
- 函数模型: \(D = \frac{s^2}{4h} + h\)。
- 已知: \(h = 50 \text{mm}, s = 500 \text{mm}\) 。系统误差 \(\Delta h = -0.1 \text{mm}, \Delta s = 1 \text{mm}\)。
- 直径测量值: \(D_0 = 1300 \text{mm}\)。
- 误差传递系数: \(\frac{\partial f}{\partial h} = -24\) (计算所得)， \(\frac{\partial f}{\partial s} = 5\) (计算所得)。
- 直径的系统误差: \(\Delta D = \frac{\partial f}{\partial h} \Delta h + \frac{\partial f}{\partial s} \Delta s = 7.4 \text{mm}\)。
- 修正后的测量结果: \(D = D_0 - \Delta D = 1300 - 7.4 = 1292.6 \text{mm}\)。
2. 函数随机误差计算⚓︎
- 一般公式 (含相关项):
\[
\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \rho_{ij} \sigma_{x_i} \sigma_{x_j} \text{ }
\]
- \(\sigma_{x_i}\): 第 \(i\) 个直接测得量 \(x_i\) 的标准差。
- \(K_{ij}\): 协方差。
- \(\rho_{ij}\): 相关系数。
- 若各测量值的随机误差是相互独立的 (\(\rho_{ij}=0\)):
\[
\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2 \text{ }
\]
\[
\sigma_y = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2} \text{ }
\]
- 若 \(\frac{\partial f}{\partial x_i} = a_i\):
-
\[ \sigma_y = \sqrt{a_1^2 \sigma_{x_1}^2 + a_2^2 \sigma_{x_2}^2 + \dots + a_n^2 \sigma_{x_n}^2} \text{ } \]
-
若 \(a_i = 1\):
\[
\sigma_y = \sqrt{\sigma_{x_1}^2 + \sigma_{x_2}^2 + \dots + \sigma_{x_n}^2} \text{ }
\]
- 函数的极限误差公式 (用极限误差 \(\delta_{\lim}\) 代替 \(\sigma\)):
\[
\delta_{\lim y} = \pm \sqrt{a_1^2 \delta_{\lim x_1}^2 + a_2^2 \delta_{\lim x_2}^2 + \dots + a_n^2 \delta_{\lim x_n}^2} \text{ }
\]
- Example: 用弓高弦长法测量大工件直径 \(D\)。
- 已知: \(h = 50 \text{mm}, s = 500 \text{mm}\) 。极限误差 \(\delta_{\lim h} = \pm 0.05 \text{mm}, \delta_{\lim s} = \pm 0.1 \text{mm}\)。
- 函数模型: \(D = \frac{s^2}{4h} + h\)。
- 直径的极限误差: $\( \delta_{\lim D} = \pm \sqrt{\left(\frac{\partial D}{\partial s}\right)^2 \delta_{\lim s}^2 + \left(\frac{\partial D}{\partial h}\right)^2 \delta_{\lim h}^2} = \pm \sqrt{\left(\frac{s}{2h}\right)^2 \delta_{\lim s}^2 + \left(1 - \frac{s^2}{4h^2}\right)^2 \delta_{\lim h}^2} \)$
\[
\delta_{\lim D} = \pm \sqrt{\left(\frac{500}{2 \times 50}\right)^2 \times 0.1^2 + \left(1 - \frac{500^2}{4 \times 50^2}\right)^2 \times 0.05^2} = \pm 1.3 \text{mm} \text{ }
\]
- 修正后的测量结果 (结合系统误差修正后的 \(D_0\)): \(D = 1292.6 \text{mm} \pm 1.3 \text{mm}\)。
3. 误差间的相关关系和相关系数⚓︎
（1）相关系数对函数误差的影响
- 函数随机误差公式 (含相关项 \(\rho_{ij}\)):
\[
\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \rho_{ij} \sigma_{x_i} \sigma_{x_j}\right) \text{ }
\]
- \(\rho_{ij}\) 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响。
- 极端情况:
- 当 \(\rho_{ij} = 0\): \(\sigma_y = \sqrt{a_1^2 \sigma_{x_1}^2 + a_2^2 \sigma_{x_2}^2 + a_n^2 \sigma_{x_n}^2}\) (独立合成)。
- 当 \(\rho_{ij} = +1\): \(\sigma_y = |a_1 \sigma_{x_1} + a_2 \sigma_{x_2} + a_n \sigma_{x_n}|\) (线性传播)。
（2）相关系数
- 定义: 两误差间有线性相关关系时，其相关性的强弱用相关系数 \(\rho\) 反映。 $\( \rho = \frac{K_{\xi \eta}}{\sigma_{\xi} \sigma_{\eta}} \text{ } \)$
-
\(K_{\xi \eta}\): 协方差 。 \(\sigma_{\xi}, \sigma_{\eta}\): 误差的标准差。
-
取值范围: \(-1 \le \rho \le +1\)。
- NOTE: 相关系数的绝对值越大，两误差的相关性越强。
（3）相关系数的确定
-
A. 直接判断法:
- \(\rho_{ij}=0\) 的情形: 一个分量依次增大时，另一个分量呈正负随机变化 。属于完全不相干的两类体系分量 (如人员操作误差与环境湿度误差) 。相互影响甚微的弱相关。
- \(\rho_{ij}=+1\) 或 \(\rho_{ij}=-1\) 的情形: 间近似呈现正的线性关系或负的线性关系 。一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小 。属于同一体系的分量 (如同一工件上的两段尺寸)。
-
B. 试样观察法和简略计算法:
-
观察法: 用多组测量的误差对应值 \((\xi_i, \eta_i)\) 作图，看它与哪一图形相近。
-
简单计算法: \(\rho \approx -\cos\left[\displaystyle \frac{n_1 + n_3}{\sum n} \pi\right]\) (图中 \(n_1, n_2, n_3, n_4\) 是四个象限内的点数)。
-
-
C. 直接计算法: 根据 \((\bar{x}_{i}, \bar{x}_{j})\) 的多组测量的对应值 \((x_{ik}, x_{jk})\)，按如下统计公式计算相关系数 :
\[
\rho(x_i, x_j) = \frac{\sum_{k} (x_{ik} - \bar{x}_i) (x_{jk} - \bar{x}_j)}{\sqrt{\sum_{k} (x_{ik} - \bar{x}_i)^2 \sum_{k} (x_{jk} - \bar{x}_j)^2}} \text{ }
\]
(二)随机误差的合成⚓︎
- 误差合成: 在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。
- 随机误差的合成形式: 标准差合成，极限误差合成。
1. 标准差的合成⚓︎
- 合成标准差表达式: $\( \sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{q} (a_i \sigma_i)^2 + 2 \sum_{1 \le i < q}^{q} \rho_{ij} a_i a_j \sigma_i \sigma_j} \text{ } \)$
- \(\sigma_i\): \(q\) 个单项随机误差的标准差 。 \(a_i\): 误差传播系数 (\(\partial f / \partial x_i\))。
2. 极限误差的合成⚓︎
- 单项极限误差: \(\delta_i = t_i \sigma_i\)。
- 合成极限误差: \(\delta = t \sigma\)。
- 合成极限误差计算公式:
\[
\delta = \pm t \sqrt{\sum_{i=1}^{q} \left(\frac{a_i \delta_i}{t_i}\right)^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{q} \rho_{ij} a_i a_j \frac{\delta_i}{t_i} \frac{\delta_j}{t_j}} \text{ }
\]
- 若 \(t_1 = t_2 = \dots = t_q = t\) (相同的置信概率) :
\[
\delta = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{q} (a_i \delta_i)^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{q} \rho_{ij} a_i a_j \delta_i \delta_j} \text{ }
\]
- 若 \(\rho_{ij} = 0\) 和 \(a_i = 1\): \(\delta = \sqrt{\sum_{i=1}^{q} \delta_i^2}\)。
(三)系统误差的合成⚓︎
- 系统误差的合成方式: 按照标准差合成，按照极限误差合成。
1. 已定系统误差的合成⚓︎
- 定义: 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。
- 表示符号: \(\Delta\)。
- 合成方法: 按照代数和法进行合成。
\[
\Delta = \sum_{i=1}^{r} a_i \Delta_i \text{ }
\]
- 可在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除。
2. 未定系统误差的合成⚓︎
- 定义: 误差大小和方向未能确切掌握，只能估计出其不致超过某一范围的系统误差。
- 特征:
- ① 二重性: 测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变 (不具有低偿性)。
- ② 随机性: 测量条件改变时，取值在某极限范围内具有随机性，服从一定的概率分布。
- 表示符号: 标准差: \(u\) 。 极限误差: \(e\)。
（1）标准差合成
- 合成后未定系统误差的总标准差 \(u\):
\[
u = \sqrt{\sum_{i=1}^{s} (a_i u_i)^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{s} \rho_{ij} a_i a_j u_i u_j} \text{ }
\]
- \(u_i\): 单项未定系统误差的标准差。
（2）极限误差的合成
- 若 \(\rho_{ij}=0\) (独立无关):
\[
e = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{s} (a_i e_i)^2} \text{ }
\]
(四)系统误差与随机误差的合成⚓︎
- 误差的合成形式: 按极限误差误差形式合成，按标准差形式合成。
1. 按照极限误差的形式合成⚓︎
- 总的极限误差 \(\Delta_{\Sigma}\) (已定系统误差已修正): 总的极限误差是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值。
\[
\Delta_{\Sigma} = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{s} e_i^2 + \sum_{i=1}^{q} \delta_i^2} \text{ }
\]
- \(n\) 次重复测量情况: 随机误差项应除以重复测量次数 \(n\)。
\[
\Delta_{\Sigma} = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{s} e_i^2 + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{q} \delta_i^2} \text{ }
\]
2. 按标准差合成 (只需考虑未定系统误差 \(u\) 与随机误差 \(\sigma\) 的合成)⚓︎
- ① 单次测量情况 (\(\rho=0\)):
\[
\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{s} u_i^2 + \sum_{i=1}^{q} \sigma_i^2} \text{ }
\]
- ② \(n\) 次重复测量情况: 随机误差项应除以重复测量次数 \(n\)。
\[
\sigma = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{s} u_i^2 + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{q} \sigma_i^2} \text{ }
\]
- Example: 用 TC328B 型天平称钢球质量 \(M = 14.0040 \text{g}\)，求测量结果的标准差。
- (1) 随机误差 \(\sigma_1\): 天平示值变动性引起， \(\sigma_1 = 0.05 \text{mg}\)。
- (2) 未定系统误差 \(u\):
- ① 砝码误差 \(u_1\): \(\sigma_{11} = 0.4 \text{mg}, \sigma_{12} = 0.2 \text{mg}\)。
\[
u_1 = \sqrt{u_{11}^2 + 2 u_{12}^2} = \sqrt{0.4^2 + 2 \times 0.2^2} \text{mg} \approx 0.5 \text{mg} \text{ }
\]
- ② 天平示值误差 \(u_2\): \(u_2 \approx 0.03 \text{mg}\)。
- (3) 总标准差 \(\sigma\) (\(\rho_{ij}=0, a_i=1\)):
\[
\sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + u_1^2 + u_2^2} = \sqrt{0.05^2 + 0.5^2 + 0.03^2} \approx 0.5 \text{mg} \text{ }
\]
- 最后测量结果 (1 倍标准差): \(M = 14.0040 \pm 0.0005 \text{g}\)。
(五)误差分配⚓︎
- 按等作用原则分配误差
- 按可能性调整误差
- 验算调整后的总误差
1. 按等作用原则分配误差⚓︎
- 等作用原则: 各分项误差对函数误差的影响相等。
\[
\sigma_{y1} = \sigma_{y2} = \dots = \sigma_{yn} = \frac{\sigma_y}{\sqrt{n}} \text{ }
\]
- 各单项误差的标准差 \(\sigma_i\):
\[
\sigma_i = \frac{\sigma_y}{\sqrt{n}} \frac{1}{\partial f / \partial x_i} = \frac{\sigma_y}{\sqrt{n}} \frac{1}{a_i} \text{ }
\]
- 各单项误差的极限误差 \(\delta_i\):
\[
\delta_i = \frac{\delta}{\sqrt{n}} \frac{1}{\partial f / \partial x_i} = \frac{\delta}{\sqrt{n}} \frac{1}{a_i} \text{ }
\]
- 按等作用原则分配误差的不合理性:
- ① 没有考虑难易程度。
- ② 没有考虑传递系数的影响。
2. 验算调整后的总误差⚓︎
-
误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小 。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差。
-
Example: 测量圆柱体的体积 \(V = \frac{\pi D^2}{4} h\) 。要求测量体积的相对误差为 \(1\%\)。
- \(D_0 = 20 \text{mm}, h_0 = 50 \text{mm}\)。
- 体积的绝对误差 \(\delta_V = V_0 \times 1\% = 157.08 \text{mm}^3\)。
- 按等影响分配: (取 \(n=2\)):
\[
\delta_D = 0.071 \text{mm} \text{ }
\]
\[
\delta_h = 0.351 \text{mm} \text{ }
\]
- 验算 (使用现有量具的极限误差): \(\delta_D=0.04\text{mm}\) (分度值 \(0.02\text{mm}\) 卡尺)， \(\delta_h=0.150\text{mm}\) (分度值 \(0.1\text{mm}\) 卡尺)。
\[
\delta_V = \sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial D}\right)^2 \delta_D^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial h}\right)^2 \delta_h^2} = 78.54 \text{mm}^3 \text{ }
\]
- \(|\delta_V| = 78.54 \text{mm}^3 < 157.08 \text{mm}^3\) 。 采用的量具准确度偏高。
- 调整后 (使用同一把分度值 \(0.05\text{mm}\) 卡尺，极限误差 \(\delta_D = \delta_h = 0.08 \text{mm}\)) :
$$ delta_V = sqrt{left(frac{pi D h}{2}right)^2 delta_D^2 + left(frac{pi D2}{4}right)2 delta_h^2} = 128.15 text{mm}^3 text{ }
$$
- \(|\delta_V| = 128.15 \text{mm}^3 < 157.08 \text{mm}^3\) 。 调整后能保证测量准确度。
(六)微小误差取舍准则⚓︎
- 微小误差: 某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差。
- 随机误差和未定系统误差的取舍准则: 被舍去的误差 \(D_k\) 必须小于或等于测量结果的标准差 \(\sigma_y\) 的十分之一到三分之一。
- 有效数字取一位时: \(D_k \le (0.4 \sim 0.3) \sigma_y\) 或 \(D_k \le \frac{1}{3} \sigma_y\) 。 (一般随机误差按 \(1/3\) )
- 有效数字取二位时: \(D_k \le (0.14 \sim 0.1) \sigma_y\) 或 \(D_k \le \frac{1}{10} \sigma_y\) 。 (一般未定系统误差按 \(1/10\) )
- 已定系统误差: 按百分之一到十分之一原则取舍。
(七)最佳测量方案的确定⚓︎
- 考虑因素: 只需考虑随机误差和未定系统误差的影响 (已定系统误差可通过修正消除)。
-
目标: 研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。
- ① 应选取包含直接测量值最小的函数公式。
- ② 包含的直接测量值数目相同，应选取误差较小的直接测量值的函数公式。
-
Example: 测量两轴的中心距 \(L\)。
- 已知标准差: \(\sigma_{d1}=0.5\mu\text{m}, \sigma_{d2}=0.7\mu\text{m}, \sigma_{L1}=0.8\mu\text{m}, \sigma_{L2}=1.0\mu\text{m}\)。
| 方法 | 函数式 | 合成标准差 \(\sigma_L\) | 结论 |
|---|---|---|---|
| 一 | \(L = L_1 - \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2}\) | \(\sigma_L = 0.91 \mu\text{m}\) | |
| 二 | \(L = L_2 + \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}\) | \(\sigma_L = 1.09 \mu\text{m}\) | 误差最大 (包含直接量较多) |
| 三 | \(L = \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2}\) | \(\sigma_L = 0.64 \mu\text{m}\) | 误差最小 (函数式最简单) |