目录

• 核磁共振的物理原理
  • 自旋的磁场特性
    • 自旋
    • 自旋的磁场
    • 自旋的进动
    • 核磁共振的频率
  • 化学位移
  • 宏观磁化矢量的进动
  • 射频激发
    • 翻转角
  • 信号接收
  • 弛豫-Relaxation
    • 横向弛豫
    • 纵向弛豫
  • 布洛赫方程
• MRI 硬件设备
  • 主磁体
    • 进动
    • 拉莫尔公式
  • 射频脉冲
    • 激励
    • 接收
  • 梯度线圈
    • 线圈
    • 选层
    • 编码
    • K 空间
    • FFT 和 Radon
• 成像
  • TR 和 TE
  • 成像信号公式

MRI

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核磁共振的物理原理

核磁共振 (NMRI) 研究的原子核的性质

自旋的磁场特性

自旋

自旋 Spin 是粒子所具有的内在性质。每种基本粒子都有特定的自旋量子数 I。重点关注 H, O, F, Na, P

有自旋 1H (I = ½), 17O (I = 3/2), 19F (I = ½), 23Na (I = 3/2), and 31P (I = ½).

无自旋 \(^4He\), \(^{12}C\), \(^{16}O\) and 32S. 14N (I = 1), 2H (deuterium, I = 1)

自旋的磁场

自旋角动量：\(\Phi = \displaystyle \frac{h}{2 \pi} I\)

微观磁场的磁矩：\(\mu = \gamma\cdot \Phi\)

表现：在没有外加磁场时，所有核自旋方向随机分布，导致无宏观磁场，施加外部磁场 B 后，粒子的势能会依据不同的自旋角动量投影发生 能级分裂，其自旋向上的量子态将比自旋向下的量子态能量更低，宏观上产生磁化矢量M0

自旋的进动

粒子自旋在磁场中的产生进动，即拉莫进动。

由公式推导，得 拉莫频率为

\[ \omega_0 = \gamma B_o \]

核磁共振的频率

\[ \begin{aligned} & f =\gamma/2\pi \cdot B_0 = 42.6MHz/T\times B_0 \\ & \mathrm{for~}1.5\mathrm{T},= 64\mathrm{MHz}; \end{aligned} \]

再结合电磁波谱，可知道，MRI没有电离辐射

化学位移

化学位移是由于化学环境不同导致的原子核 拉莫频率变化。例如，水氢（1H）与不同分子结合时会产生不同的化学偏移效应

宏观磁化矢量的进动

我们分成 xyz 三个方向

对于宏观磁化矢量 \(M=M(x,t)\)， 其与宏观角动量 J 的关系满足 \(M=\gamma J\)， 对于特定位置/体素 \(M=M(t)\), 其进动过程可以描述为

\[ \frac{dM(t)}{dt}=\gamma M(t)\times B(t) \]

当 \( \boldsymbol{B}(t)=B_0,\boldsymbol{M}(0) \) 与 z 轴成夹角 \(\alpha\) 时

\[ M_{x}(t)= M_{0}sin\alpha\cos(-\gamma B_{0}t+\phi) \]

\[ M_y(t)= M_0sin\alpha\sin(-\gamma B_0t+\phi) \]

\[ M_z(t)= M_0cos\alpha \]

分成 z 轴的纵向和 xy 平面的横向

射频激发

在测量 M 时，由于各个自旋的进动相位相互独立，而与 B0 场相比，M 非常微弱难以测量。 因而人们通常使用一个 垂直于主磁场方向的 额外射频磁场 B1 将 M 从 B0 中分离出来，从而被接收线圈检测到。

翻转角

M旋转的角度叫做翻转角。翻转方向符合“左手定则”（见PPT关于翻转角从介绍）

\[ \alpha=\gamma\int_0^{\tau_p}B_1^e(t)dt \]

信号接收

原理是法拉第电磁感应定律。

弛豫-Relaxation

横向弛豫

横向弛豫也称为自旋-自旋弛豫（spin-spinrelaxation）。

由邻近自旋引 1 起磁场扰动，这种相互作用使得自旋加速或减速，改变它们的相位这种去相位（dephasing）会导致自旋系统产生的 RF 波失去相干性，信号衰减

自由感应衰减信号 FID

指数衰减，有参数横向弛豫时间 \(T_2\)

\[ M_{xy}(t)= M_0sin\alpha \cdot e^{j\phi}\cdot e^{-t/T_2} \]

纵向弛豫

纵向弛豫又称自旋-晶格弛豫（spin-lattice）。

是纵向磁化矢量逐渐恢复至平衡磁化矢量的过程，分子的运动频率越接近拉莫频率，恢复越快，其时间常数为纵向弛豫时间 \(T_1\)

\[ M_{z}(t)= M_{0}\left(1-e^{-\frac{t}{T_{1}}}\right)+M_{z}(0^{+})e^{-t/T_{1}} \]

布洛赫方程

超级牛逼的微分方程

\[ \frac{dM(t)}{dt}=\gamma M(t)\times B(t)-R\{M(t)-M_0\} \]

其中

\[ B(t)= B_0+B_1(t) \\ R = \begin{pmatrix} 1/T_2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/T_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/T_1 \end{pmatrix} \]

方程分解，则

\[ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} M_x(t) \\ M_y(t) \\ M_z(t) \end{pmatrix}=\gamma \begin{pmatrix} M_y(t)B_z(t)-M_z(t)B_y(t) \\ -M_x(t)B_z(t)+M_z(t)B_x(t) \\ M_x(t)B_y(t)-M_y(t)B_x(t) \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} \frac{1}{T_2}M_x(t) \\ \frac{1}{T_2}M_y(t) \\ \frac{1}{T_1}(M_z(t)-M_{0z}) \end{pmatrix} \]

MRI 硬件设备

主磁体

单位: 1Tesla = 10000Gauss

进动

磁化矢量

\[ M_0 = \frac{N\gamma^2(h/2\pi)^2B_0I_z(I_z+1)}{3kT} \\ M_0 = \Delta n\frac23\gamma(h/2\pi)I_z(I_z+1) \]

进动

绕着 \(B_0\) 旋转的进动 静止坐标系: \((\frac{dM}{dt})_{lab} = (\frac{dM}{dt})_{rot}+\omega\times M\) 旋转坐标系: \((\frac{dM}{dt})_{rot} = \gamma M\times B_{eff}\); \(B_{eff} = B+\omega/\gamma\).

\[ B = B_0 + \frac\omega\gamma(ratating)\\ \frac{dM}{dt} = M\times\gamma(B+B_1(t))\\ B_1(t) = B_1e^{-i\omega_0t}\\ \omega_1 = \gamma B_1\\ \alpha = \omega_1 t(flip\ angle) \]

射频脉冲制造 B1

拉莫尔公式

\(\omega = \gamma B\), \(\mu\) 围绕主磁场以拉莫尔频率 \(\omega\) 旋转, \(\omega\) 为拉莫尔频率.

射频脉冲

激励

用的是翻转线圈 翻转角度: \(\alpha = \gamma B_1 t = \omega_1t\)

接收

弛豫

公式: \(\frac{dM}{dt} = M(t)\gamma B(t)-R(M(t)-M_0)\).

纵向: \(M_z = M_{z}|_{t=0}\times e^{-t/T_1} + M_0(1-e^{-t/T_1})\). \(T_1\) 为恢复到 \(1-\frac1e\) 时的时间, B0 大, T1 更长. 横向: \(M_{xy} = M_{xy}|_{t=0}e^{-t/T_2}\). \(T_2\) 为衰减到 \(\frac1e\) 时的时间. z 分量波动的影响往往主导 T2 弛豫过程. \(T_1,T_2\) 长短正相关

信号接收

法拉利公式: 线圈接收的是横向的分量 \(S = M_0(1-e^{-TR/T1})e^{-TE/T2}\) TR 全周期的重复时间, TE 回波(检测信号的)时间

对比度 减短 TR→T1 恢复时间短, 值更大 →T1 对比度上升. 减短 TE→ 影响 T2 对比度, 增加信噪比(噪声减少)

三种成像: T1 加权; 质子密度; T2 加权 T1: TR TE 短, TE 短 T2 影响小, 信号幅度高. T1: TR TE 长, TR 长 T1 影响小, 信号幅度低. 质子: TR 长, TE 短, T1T2 影响都小.

自由感应衰减 FID 自由感应衰减: 正余弦 × 指数衰减

傅里叶变换后: 余弦信号 \(\frac12[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\).

指数信号: \(\frac{a+i\omega}{a^2+\omega^2},a = 1/T_2\).

幅度和频率, 第四份 PPT

化学位移 \(B_{eff} = B_0(1-\sigma), \omega_{eff} = \omega_0(1-\sigma)\) → \(\Delta f = \frac\gamma {2\pi}B_0\times \Delta\delta\times10^{-6}\)

结论: \(B_0\) 和尖峰的间隔之间有线性关系.

化学位移: 由于轨道电子的屏蔽而引起的共振频率的小位移.

梯度线圈

线圈

z 方向梯度: 麦克斯韦线圈, 同螺线管绕在环上；xy 方向梯度: 格雷线圈, 方形框贴在环上

参数: Gmax 最大梯度, dB/dx; slew rate 上升的最大值的速度.

选层

\(f_{RF} = \gamma(B_0+GL)\).

选层位置: G 不变更改 RF 中心频率; RF 不变更改 G 大小

选层厚度: G 不变, RF 和厚度正比; RF 不变, 厚度和 G 反比.

编码

频率编码: 编码后经过傅里叶变换, 不同频率对应不同的锋； 相位编码: 编码相位

y 方向为相位编码, 优先利用 \(G_y\) 生成, 生成后关闭, 保留固定相位; x 方向为频率编码, 打开 \(G_x\) 后即产生.

y 方向数量决定重复采集的次数(k 空间的列数), 频率编码采集到可以区分(每次填充了 k 空间的一行).

具体过程案例: 打开 \(G_z\), 给予 RF 脉冲, 给完 \(G_z\) 给予负值完成抵消. 打开 \(G_y\), \(G_x\) 负值抵消, 生成相位差. \(G_x\) 给予正值, 等待采集(时刻为 TE). 若为 Spin Echo, 则先 90° 脉冲, 时间为 TE/2 时给予 180° 脉冲, 而后开始编码.

K 空间

\(F(k_x,k_y) = \sum_{x,y}f(x,y)e^{-i2\pi(k_xx+k_yy)}\), \(f(x,y)\) 对应信号

坐标轴: \(k_x,k_y\).

\[ \Delta\omega = \gamma xG, \Delta\phi = \gamma xGt = 2π(kx)\\ k_x = \frac{\gamma}{2\pi}\int_0^tG_x(\tau)d\tau, k_y = \frac{\gamma}{2\pi}\int_0^tG_y(\tau)d\tau \]

中心部分低频, 对应模糊图像, 可见基本轮廓.决定对比度

外周部分高频, 对应精细细节, 但不可见物体.决定分辨力

FFT 和 Radon

成像

(这部分上面都写过了?这里不写了，不过要注意这部分是整个MRI体系中最为重要的地方，重在理解，公式不多，可以看《微雕》

TR 和 TE

成像信号公式