四、测量不确定度⚓︎
约 2295 个字 预计阅读时间 11 分钟
（一）测量不确定度的基本概念⚓︎
1. 概述⚓︎
- 必要性: 误差概念和误差分析在评定测量结果时，有时显得不完备，也难于操作。
- 应用领域:
- 质量检测、质量保证与控制；
- 校准、检定、封缄和标记等计量确认活动；
- 基础科学和应用科学领域中的研究、开发和试验；
- 贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境与资源监测等有关的其他测量活动；
- 测量和测量器具的设计和合格评定。
2. 测量不确定度的定义⚓︎
- 定义: 测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，用以表示被测量值的分散性。 $\(\text{测量结果 } Y = \text{被测量的估计值 } y \pm \text{不确定度 } U \text{}\)$
- 意义: 对测量结果质量的的定量表征。测量结果附有不确定度才是完整并有意义的。
- 测量结果: 由测量所得到的赋于被测量的值。仅仅是被测量的最佳估计值，并非真值。
3. 测量不确定度与误差⚓︎
- 测量误差: 是客观存在的测量结果与真值之间的差，但由于真值往往不知道，故误差无法准确得到。
-
误差在使用上存在的问题:
- 概念上的问题: 严格意义上的误差是无法得到的。
-
评定方法的问题: 随机误差和系统误差两类界限不够清晰。
-
误差与不确定度的区别: | 序 号 | 内容 | 测量误差 | 测量不确定度 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 1 | 定义 | 表明测量结果偏离真值的程度，是一个确定的值。 | 表明被测量之值的分散性，是一个区间。用标准偏差、标准偏差的倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度来表示。 | | 2 | 分类 | 分为随机误差和系统误差，是无限多次测量的理想概念。 | 分为 A 类评定和 B 类评定，都以标准不确定度表示，评定时不必区分其性质。 | | 3 | 可操作性 | 值不可知，可操作性差。 | 可以由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，可以定量地操作。 | | 4 | 合成方法 | 按照误差分类选取不同的合成方法。 | 各分量相互独立时，用方和根法合成，否则应考虑相关项。 | | 5 | 符号 | 非正即负 (或 \(0\))，不能用 \(\pm\) 表示。 | 无符号，恒取正值。 | | 6 | 结果修正 | 已知系统误差估计值时，可以进行修正。 | 不能用测量不确定度修正测量结果。 | | 7 | 结果说明 | 是客观存在的，与测量仪器和测量方法无关。 | 与人们对被测量、影响量以及测量过程的认识有关。 | | 8 | 相互关系 | 仅与测量结果和真值有关，是测量得到的。 | 仅与测量方法有关，是分析得到的，有时还要辅以实验。 |
二者的联系:
- 所有的不确定度分量都用标准差表征，由随机误差或系统误差引起。
- 误差是不确定度的基础。
二者的区别 (总结):
- 误差以真值或约定真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心。
- 误差一般难以定值，不确定度可以定量评定。
- 误差有三类，界限模糊；测量不确定度分两类，简单明了。
(二)标准不确定度的评定⚓︎
- 标准不确定度的 A 类评定
- 标准不确定度的 B 类评定
- 自由度及其确定
1. 标准不确定度的 A 类评定⚓︎
- 定义: 用标准差表征的不确定度，用 \(u\) 表示。
$\(u = \sigma \text{}\)$
- 被测量 \(X\) 的估计值 = 单次测量值 \(x\): \(u = \sigma\)。
- 被测量 \(X\) 的估计值 = 算术平均值 \(\bar{x}\): \(u = \sigma / \sqrt{n}\)。
2. 标准不确定度的 B 类评定⚓︎
- 定义: 基于其他估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到不确定度。
- B 类评定的依据: 以前的测量数据、经验和资料；有关仪器和装置的一般知识、制造说明书和检定证书或其他报告所提供的数据；由手册提供的参考数据等。
- 常见情况的 B 类评定:
- A. 正态分布假设: 当估计值受多个独立因素的影响，且影响大小相近时。 $\(u_x = \frac{a}{k} \text{}\)$
- B. 相关资料给出: 所给出的测量不确定度 \(U_x\) 为标准差的 \(k\) 倍时。
- C. 均匀分布 (矩形分布): 在区间 \((x-a, x+a)\) 内的概率为 \(1\)。 $\(u_x = \frac{a}{\sqrt{3}} \text{}\)$
- D. 三角分布: 受到两个独立且皆满足均匀分布的因素影响时。 $\(u_x = \frac{a}{\sqrt{6}} \text{}\)$
- E. 反正弦分布: 服从区间 \((x-a, x+a)\) 内的反正弦分布时。 $\(u_x = \frac{a}{\sqrt{2}} \text{}\)$
3. 自由度及其确定⚓︎
- 自由度 \(\nu\): 反映不确定度评定的质量，自由度越大，标准差越可信赖，评定质量越好。
- A 类评定的自由度: Bessel 公式: \(\nu = n-1\)。
- B 类评定的自由度: $\(\nu = \frac{1}{2 (\sigma_u / u)^2} \text{}\)$
(三)测量不确定度的合成⚓︎
- 合成标准不确定度
- 展伸不确定度
- 不确定度的报告
1. 合成标准不确定度 \(u_c\)⚓︎
- 合成步骤: 明确不确定度分量；确定传递关系和相关系数；给出各分量标准不确定度；按方和根法合成。
- 合成公式: (与随机误差合成公式相同) $\(u_c = \sqrt{\sum_{i=1}^{N} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u_{x_i}^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \rho_{ij} u_{x_i} u_{x_j}} \text{}\)$
- 结果表示: \(Y = y \pm u_c\)。
2. 展伸不确定度 \(U\)⚓︎
- 提出: 标准不确定度 \(u_c\) 的置信概率仅为 \(68\%\)。
- 评定:
$\(U = k u_c \text{}\)$
- \(k\): 包含因子，由 \(t\) 分布的表格给出， \(k = t_p(\nu)\)。
- \(\nu\): 合成不确定度 \(u_c\) 的自由度。
$\(\nu = \frac{u_c^4}{\sum_{i=1}^{N} \frac{u_i^4}{\nu_i}} \text{ (独立时)}\)$
- 当自由度无法按上式计算时，取 \(k = 2 \sim 3\)。
- 结果表示: \(Y = y \pm U\)。
3. 不确定度报告⚓︎
- 基本内容: 用 \(u_c\) 表示时，给出 \(u_c\) 及其自由度 \(\nu\)；用 \(U\) 表示时，给出 \(U\)、 \(u_c\)、 \(\nu\)、置信概率 \(P\) 和包含因子 \(k\) 值。
- 注意事项:
- 有效数字一般不超过两位。
- 不确定度数值与被测量的估计值末位对齐。
- 误差末位之后数按 “三分之一准则” 取舍修约。
---⚓︎
(以下为应用实例，仅列出关键步骤和结果)
(四)测量不确定度应用实例⚓︎
1. 测量不确定度计算步骤⚓︎
A. 列出主要分量 B. 计算各分量的传递系数 C. 评定标准不确定度分量，给出自由度 D. 分析各相关系数 E. 求 \(u_c\) 和自由度 \(\nu\)，若有必要，给出展伸不确定度 \(U\) F. 给出不确定度报告
2. 体积测量不确定度计算⚓︎
- 被测量估计值: \(V = \frac{\pi \bar{D}^2}{4} \bar{h} = 806.8 \text{mm}^3\)。
- 不确定度分量评定 (独立):
- \(u_1\) (D 测量重复性): \(0.77 \text{mm}^3, \nu_1 = 5\)。
- \(u_2\) (h 测量重复性): \(0.21 \text{mm}^3, \nu_2 = 5\)。
- \(u_3\) (测微仪示值误差，均匀分布): \(1.04 \text{mm}^3, \nu_3 = 4\)。
- 合成标准不确定度: \(u_c = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} = 1.3 \text{mm}^3\)。
- 自由度: \(\nu = 7.86 \approx 8\)。
- 展伸不确定度 (\(P=0.95, k=2.31\)): \(U = k u_c = 3.0 \text{mm}^3\)。
3. 电压测量不确定度计算⚓︎
- 电压估计量: \(\bar{V} = 10.000104 \text{V}\)。
- 不确定度分量评定 (独立):
- \(u_1\) (示值稳定度，均匀分布): \(8.7 \mu\text{V}, \nu_1 = \infty\)。
- \(u_2\) (示值误差): \(11.7 \mu\text{V}, \nu_2 = \infty\)。
- \(u_3\) (测量重复性): \(2.8 \mu\text{V}, \nu_3 = 9\)。
- 合成标准不确定度: \(u_c = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} = 14.85 \approx 15 \mu\text{V}\)。
- 展伸不确定度 (\(P=0.95, k=1.96\)): \(U = k u_c = 29.4 \mu\text{V} \approx 30 \mu\text{V}\)。
- 不确定度报告: \(U = 30 \mu\text{V}\) (由 \(u_c = 15 \mu\text{V}, k=1.96\) 确定)。
4. 粘度测量不确定度计算 (相对误差)⚓︎
- 不确定度分量评定 (独立): (各项相对标准不确定度 \(u_i\))
- \(u_1\) (温度变化): \(0.008\%\)。
- \(u_2\) (粘度计体积变化): \(0.033\%\)。
- \(u_3\) (时间测量): \(0.067\%\)。
- \(u_4\) (粘度计倾斜): \(0.007\%\)。
- \(u_5\) (空气浮力): \(0.010\%\)。
- 合成标准不确定度: \(u_c = \sqrt{\sum u_i^2} = 0.076\%\)。
- 展伸不确定度 (误差范围皆为 \(3\sigma\)，取 \(k=3\)): \(U = k u_c = 0.23\%\)。
5. 量块校准不确定度计算⚓︎
- 被校准量块 \(20^\circ\text{C}\) 时长度: \(\bar{l} = 50.000838 \text{mm}\)。
- 不确定度分量评定 (独立):
- \(u_1\) (标准量块校准不确定度): \(25 \text{nm}, \nu_1 = 18\)。
- \(u_2\) (长度差测量不确定度): \(9.7 \text{nm}, \nu_2 = 18\)。
- \(u_3\) (热膨胀系数之差的不确定度): \(2.9 \text{nm}, \nu_3 = 50\)。
- \(u_4\) (温度差的不确定度，均匀分布): \(16.6 \text{nm}, \nu_4 = 2\)。