三、误差的合成与分配⚓︎

约 3365 个字预计阅读时间 17 分钟

(一)函数误差⚓︎

定义: 间接测量的误差是直接测得量及其误差的函数。
Example: 测量矩形的面积 $S = xy$。
函数误差为: $\delta_s = x \delta_y + y \delta_x + \delta_y \delta_x$。

1. 函数系统误差计算⚓︎

函数系统误差 $\Delta y$ 的计算公式: $$ \Delta y = \frac{\partial f}{\partial x_1} \Delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \Delta x_2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n} \Delta x_n \text{ } $$
$\Delta x_n$: 与被测量有函数关系的各个直接测量值。
$\partial f / \partial x_i$: 误差传播系数。
若 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 量纲相同，则 $\partial f / \partial x_i$ 起到误差放大或缩小的作用。
若 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 量纲不相同，则 $\partial f / \partial x_i$ 起到误差单位换算的作用。
几种简单函数的系统误差:
线性函数: $y = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n$。 $$ \Delta y = a_1 \Delta x_1 + a_2 \Delta x_2 + \dots + a_n \Delta x_n \text{ } $$
若 $a_i = 1$: $\Delta y = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \dots + \Delta x_n$。
三角函数形式: $\varphi = \arcsin(f(x_i))$ 或 $\varphi = \arccos(f(x_i))$。 $$ \Delta \varphi = \frac{1}{\cos \varphi} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i \text{ (对于 } \sin \varphi \text{) } $$

$$ \Delta \varphi = \frac{1}{-\sin \varphi} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i \text{ (对于 } \cos \varphi \text{) } $$ * Example: 用弓高弦长法测量大工件直径 $D$。 * 函数模型: $D = \frac{s^2}{4h} + h$。 * 已知: $h = 50 \text{mm}, s = 500 \text{mm}$ 。系统误差 $\Delta h = -0.1 \text{mm}, \Delta s = 1 \text{mm}$。 * 直径测量值: $D_0 = 1300 \text{mm}$。 * 误差传递系数: $\frac{\partial f}{\partial h} = -24$ (计算所得)， $\frac{\partial f}{\partial s} = 5$ (计算所得)。 * 直径的系统误差: $\Delta D = \frac{\partial f}{\partial h} \Delta h + \frac{\partial f}{\partial s} \Delta s = 7.4 \text{mm}$。 * 修正后的测量结果: $D = D_0 - \Delta D = 1300 - 7.4 = 1292.6 \text{mm}$。

2. 函数随机误差计算⚓︎

一般公式 (含相关项): $$ \sigma_y^2 = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \rho_{ij} \sigma_{x_i} \sigma_{x_j} \text{ } $$
$\sigma_{x_i}$: 第 $i$ 个直接测得量 $x_i$ 的标准差。
$K_{ij}$: 协方差。
$\rho_{ij}$: 相关系数。
若各测量值的随机误差是相互独立的 ($\rho_{ij}=0$): $$ \sigma_y^2 = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2 \text{ } $$

$$ \sigma_y = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2} \text{ } $$ * 若 $\frac{\partial f}{\partial x_i} = a_i$: $$ \sigma_y = \sqrt{a_1^2 \sigma_{x_1}^2 + a_2^2 \sigma_{x_2}^2 + \dots + a_n^2 \sigma_{x_n}^2} \text{ } $$ * 若 $a_i = 1$: $$ \sigma_y = \sqrt{\sigma_{x_1}^2 + \sigma_{x_2}^2 + \dots + \sigma_{x_n}^2} \text{ } $$ * 函数的极限误差公式 (用极限误差 $\delta_{\lim}$ 代替 $\sigma$): $$ \delta_{\lim y} = \pm \sqrt{a_1^2 \delta_{\lim x_1}^2 + a_2^2 \delta_{\lim x_2}^2 + \dots + a_n^2 \delta_{\lim x_n}^2} \text{ } $$ * Example: 用弓高弦长法测量大工件直径 $D$。 * 已知: $h = 50 \text{mm}, s = 500 \text{mm}$ 。极限误差 $\delta_{\lim h} = \pm 0.05 \text{mm}, \delta_{\lim s} = \pm 0.1 \text{mm}$。 * 函数模型: $D = \frac{s^2}{4h} + h$。 * 直径的极限误差: $$ \delta_{\lim D} = \pm \sqrt{\left(\frac{\partial D}{\partial s}\right)^2 \delta_{\lim s}^2 + \left(\frac{\partial D}{\partial h}\right)^2 \delta_{\lim h}^2} = \pm \sqrt{\left(\frac{s}{2h}\right)^2 \delta_{\lim s}^2 + \left(1 - \frac{s^2}{4h2}\right)^2 \delta_{\lim h}^2} \text{ (此处原文公式有误，已根据导数修正)} $$ $$ \delta_{\lim D} = \pm \sqrt{\left(\frac{500}{2 \times 50}\right)^2 \times 0.1^2 + \left(1 - \frac{500^2}{4 \times 50^2}\right)2 \times 0.05^2} = \pm 1.3 \text{mm} \text{ } $$ * 修正后的测量结果 (结合系统误差修正后的 $D_0$): $D = 1292.6 \text{mm} \pm 1.3 \text{mm}$。

3. 误差间的相关关系和相关系数⚓︎

（1）相关系数对函数误差的影响

函数随机误差公式 (含相关项 $\rho_{ij}$): $$ \sigma_y^2 = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \rho_{ij} \sigma_{x_i} \sigma_{x_j}\right) \text{ } $$
$\rho_{ij}$ 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响。
极端情况:
当 $\rho_{ij} = 0$: $\sigma_y = \sqrt{a_1^2 \sigma_{x_1}^2 + a_2^2 \sigma_{x_2}^2 + a_n^2 \sigma_{x_n}^2}$ (独立合成)。
当 $\rho_{ij} = +1$: $\sigma_y = |a_1 \sigma_{x_1} + a_2 \sigma_{x_2} + a_n \sigma_{x_n}|$ (线性传播)。

（2）相关系数

定义: 两误差间有线性相关关系时，其相关性的强弱用相关系数 $\rho$ 反映。 $$ \rho = \frac{K_{\xi \eta}}{\sigma_{\xi} \sigma_{\eta}} \text{ } $$
$K_{\xi \eta}$: 协方差。 $\sigma_{\xi}, \sigma_{\eta}$: 误差的标准差。
取值范围: $-1 \le \rho \le +1$。
NOTE: 相关系数的绝对值越大，两误差的相关性越强。

（3）相关系数的确定

A. 直接判断法:
$\rho_{ij}=0$ 的情形: 一个分量依次增大时，另一个分量呈正负随机变化。属于完全不相干的两类体系分量 (如人员操作误差与环境湿度误差) 。相互影响甚微的弱相关。
$\rho_{ij}=+1$ 或 $\rho_{ij}=-1$ 的情形: 间近似呈现正的线性关系或负的线性关系。一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小。属于同一体系的分量 (如同一工件上的两段尺寸)。
B. 试样观察法和简略计算法:
观察法: 用多组测量的误差对应值 $(\xi_i, \eta_i)$ 作图，看它与哪一图形相近。
简单计算法: $\rho \approx -\cos\left[\frac{n_1 + n_3}{\sum n} \pi\right]$ (图中 $n_1, n_2, n_3, n_4$ 是四个象限内的点数)。
C. 直接计算法: 根据 $(\bar{x}_{i}, \bar{x}_{j})$ 的多组测量的对应值 $(x_{ik}, x_{jk})$，按如下统计公式计算相关系数 : $$ \rho(x_i, x_j) = \frac{\sum_{k} (x_{ik} - \bar{x}i) (x} - \bar{xj)}{\sqrt{\sum} (x_{ik} - \bar{xi)^2 \sum $$} (x_{jk} - \bar{x}_j)^2}} \text{

(二)随机误差的合成⚓︎

误差合成: 在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。
随机误差的合成形式: 标准差合成，极限误差合成。

1. 标准差的合成⚓︎

合成标准差表达式: $$ \sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{q} (a_i \sigma_i)^2 + 2 \sum_{1 \le i < q}^{q} \rho_{ij} a_i a_j \sigma_i \sigma_j} \text{ } $$
$\sigma_i$: $q$ 个单项随机误差的标准差。 $a_i$: 误差传播系数 ($\partial f / \partial x_i$)。

2. 极限误差的合成⚓︎

单项极限误差: $\delta_i = t_i \sigma_i$。
合成极限误差: $\delta = t \sigma$。
合成极限误差计算公式: $$ \delta = \pm t \sqrt{\sum_{i=1}^{q} \left(\frac{a_i \delta_i}{t_i}\right)^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{q} \rho_{ij} a_i a_j \frac{\delta_i}{t_i} \frac{\delta_j}{t_j}} \text{ } $$
若 $t_1 = t_2 = \dots = t_q = t$ (相同的置信概率) : $$ \delta = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{q} (a_i \delta_i)^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{q} \rho_{ij} a_i a_j \delta_i \delta_j} \text{ } $$
若 $\rho_{ij} = 0$ 和 $a_i = 1$: $\delta = \sqrt{\sum_{i=1}^{q} \delta_i^2}$。

(三)系统误差的合成⚓︎

系统误差的合成方式: 按照标准差合成，按照极限误差合成。

1. 已定系统误差的合成⚓︎

定义: 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。
表示符号: $\Delta$。
合成方法: 按照代数和法进行合成。 $$ \Delta = \sum_{i=1}^{r} a_i \Delta_i \text{ } $$
可在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除。

2. 未定系统误差的合成⚓︎

定义: 误差大小和方向未能确切掌握，只能估计出其不致超过某一范围的系统误差。
特征:
① 二重性: 测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变 (不具有低偿性)。
② 随机性: 测量条件改变时，取值在某极限范围内具有随机性，服从一定的概率分布。
表示符号: 标准差: $u$ 。极限误差: $e$。

（1）标准差合成

合成后未定系统误差的总标准差 $u$: $$ u = \sqrt{\sum_{i=1}^{s} (a_i u_i)^2 + 2 \sum_{1 \le i < j}^{s} \rho_{ij} a_i a_j u_i u_j} \text{ } $$
$u_i$: 单项未定系统误差的标准差。

（2）极限误差的合成

若 $\rho_{ij}=0$ (独立无关): $$ e = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{s} (a_i e_i)^2} \text{ } $$

(四)系统误差与随机误差的合成⚓︎

误差的合成形式: 按极限误差误差形式合成，按标准差形式合成。

1. 按照极限误差的形式合成⚓︎

总的极限误差 $\Delta_{\Sigma}$ (已定系统误差已修正): 总的极限误差是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值。 $$ \Delta_{\Sigma} = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{s} e_i^2 + \sum_{i=1}^{q} \delta_i^2} \text{ } $$
$n$ 次重复测量情况: 随机误差项应除以重复测量次数 $n$。 $$ \Delta_{\Sigma} = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{s} e_i^2 + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{q} \delta_i^2} \text{ } $$

2. 按标准差合成 (只需考虑未定系统误差 $u$ 与随机误差 $\sigma$ 的合成)⚓︎

① 单次测量情况 ($\rho=0$): $$ \sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^{s} u_i^2 + \sum_{i=1}^{q} \sigma_i^2} \text{ } $$
② $n$ 次重复测量情况: 随机误差项应除以重复测量次数 $n$。 $$ \sigma = \pm \sqrt{\sum_{i=1}^{s} u_i^2 + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{q} \sigma_i^2} \text{ } $$
Example: 用 TC328B 型天平称钢球质量 $M = 14.0040 \text{g}$，求测量结果的标准差。
(1) 随机误差 $\sigma_1$: 天平示值变动性引起， $\sigma_1 = 0.05 \text{mg}$。
(2) 未定系统误差 $u$:
① 砝码误差 $u_1$: $\sigma_{11} = 0.4 \text{mg}, \sigma_{12} = 0.2 \text{mg}$。 $$ u_1 = \sqrt{u_{11}^2 + 2 u_{12}^2} = \sqrt{0.4^2 + 2 \times 0.2^2} \text{mg} \approx 0.5 \text{mg} \text{ } $$
② 天平示值误差 $u_2$: $u_2 \approx 0.03 \text{mg}$。
(3) 总标准差 $\sigma$ ($\rho_{ij}=0, a_i=1$): $$ \sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + u_1^2 + u_2^2} = \sqrt{0.05^2 + 0.5^2 + 0.03^2} \approx 0.5 \text{mg} \text{ } $$
最后测量结果 (1 倍标准差): $M = 14.0040 \pm 0.0005 \text{g}$。

(五)误差分配⚓︎

按等作用原则分配误差
按可能性调整误差
验算调整后的总误差

1. 按等作用原则分配误差⚓︎

等作用原则: 各分项误差对函数误差的影响相等。 $$ \sigma_{y1} = \sigma_{y2} = \dots = \sigma_{yn} = \frac{\sigma_y}{\sqrt{n}} \text{ } $$
各单项误差的标准差 $\sigma_i$: $$ \sigma_i = \frac{\sigma_y}{\sqrt{n}} \frac{1}{\partial f / \partial x_i} = \frac{\sigma_y}{\sqrt{n}} \frac{1}{a_i} \text{ } $$
各单项误差的极限误差 $\delta_i$: $$ \delta_i = \frac{\delta}{\sqrt{n}} \frac{1}{\partial f / \partial x_i} = \frac{\delta}{\sqrt{n}} \frac{1}{a_i} \text{ } $$
按等作用原则分配误差的不合理性:
① 没有考虑难易程度。
② 没有考虑传递系数的影响。

2. 验算调整后的总误差⚓︎

误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差。
Example: 测量圆柱体的体积 $V = \frac{\pi D^2}{4} h$ 。要求测量体积的相对误差为 $1\%$。
$D_0 = 20 \text{mm}, h_0 = 50 \text{mm}$。
体积的绝对误差 $\delta_V = V_0 \times 1\% = 157.08 \text{mm}^3$。
按等影响分配: (取 $n=2$): $$ \delta_D = 0.071 \text{mm} \text{ } $$

$$ \delta_h = 0.351 \text{mm} \text{ } $$ * 验算 (使用现有量具的极限误差): $\delta_D=0.04\text{mm}$ (分度值 $0.02\text{mm}$ 卡尺)， $\delta_h=0.150\text{mm}$ (分度值 $0.1\text{mm}$ 卡尺)。 $$ \delta_V = \sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial D}\right)^2 \delta_D^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial h}\right)^2 \delta_h^2} = 78.54 \text{mm}^3 \text{ } $$ * $|\delta_V| = 78.54 \text{mm}^3 < 157.08 \text{mm}^3$ 。采用的量具准确度偏高。 * 调整后 (使用同一把分度值 $0.05\text{mm}$ 卡尺，极限误差 $\delta_D = \delta_h = 0.08 \text{mm}$) : $$ \delta_V = \sqrt{\left(\frac{\pi D h}{2}\right)^2 \delta_D^2 + \left(\frac{\pi D^2}{4}\right)2 \delta_h^2} = 128.15 \text{mm}^3 \text{ } $$ * $|\delta_V| = 128.15 \text{mm}^3 < 157.08 \text{mm}^3$ 。调整后能保证测量准确度。

(六)微小误差取舍准则⚓︎

微小误差: 某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差。
随机误差和未定系统误差的取舍准则: 被舍去的误差 $D_k$ 必须小于或等于测量结果的标准差 $\sigma_y$ 的十分之一到三分之一。
有效数字取一位时: $D_k \le (0.4 \sim 0.3) \sigma_y$ 或 $D_k \le \frac{1}{3} \sigma_y$ 。 (一般随机误差按 $1/3$ )
有效数字取二位时: $D_k \le (0.14 \sim 0.1) \sigma_y$ 或 $D_k \le \frac{1}{10} \sigma_y$ 。 (一般未定系统误差按 $1/10$ )
已定系统误差: 按百分之一到十分之一原则取舍。

(七)最佳测量方案的确定⚓︎

考虑因素: 只需考虑随机误差和未定系统误差的影响 (已定系统误差可通过修正消除)。
目标: 研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。
① 应选取包含直接测量值最小的函数公式。
② 包含的直接测量值数目相同，应选取误差较小的直接测量值的函数公式。
Example: 测量两轴的中心距 $L$。
已知标准差: $\sigma_{d1}=0.5\mu\text{m}, \sigma_{d2}=0.7\mu\text{m}, \sigma_{L1}=0.8\mu\text{m}, \sigma_{L2}=1.0\mu\text{m}$。

方法	函数式	合成标准差 $\sigma_L$	结论
一	$L = L_1 - \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2}$	$\sigma_L = 0.91 \mu\text{m}$
二	$L = L_2 + \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}$	$\sigma_L = 1.09 \mu\text{m}$	误差最大 (包含直接量较多)
三	$L = \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2}$	$\sigma_L = 0.64 \mu\text{m}$	误差最小 (函数式最简单)

方法	函数式	合成标准差 \(\sigma_L\)	结论
一	\(L = L_1 - \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2}\)	\(\sigma_L = 0.91 \mu\text{m}\)
二	\(L = L_2 + \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}\)	\(\sigma_L = 1.09 \mu\text{m}\)	误差最大 (包含直接量较多)
三	\(L = \frac{L_1}{2} + \frac{L_2}{2}\)	\(\sigma_L = 0.64 \mu\text{m}\)	误差最小 (函数式最简单)